Логарифмы: правила и примеры решения

При изучении математики приходится решать такие интересные выражения, как логарифмы. Но для начала необходимо тщательно разобраться с основаниями и произвести подсчеты, которые дадут правильный ответ. Разберем подробнее, как решать логарифмы разной сложности.

Для начала рассмотрим уравнение вида 3^x=8. На первый взгляд, может показаться, что данное выражение не имеет решения. Но если разобраться, то решение такого примера становится несложным. Число 3 является основанием, в которое надо возвести x, чтобы получить в результате 8. Именно это и есть логарифмическим выражением, которое нередко встречается в математических задачах, особенно на экзаменах.

Виды

Логарифмы бывают следущих видов:

1. Десятичные. К таким относят равенства, в основании которых заложено число 10. Запись уравнения производится в виде log10а. Означает следующее: для получения нужного числа необходимо возвести в десятую степень неизвестное число. Это простые выражение, не требующих значительных математических манипуляций. В качестве варианта записи иногда выступает lg а.
2. Натуральные — выражения, где в качестве основания выступает константа e. Ее называют числом Эйлера, оно составляет 2,7. Эти равенства записываются в виде ln x, что является общепринятым обозначением в математической литературе.
3. Другие логарифмы. Например, уравнения с двойкой в основании называются двоичными, а если внизу располагается цифра 16, то это шестнадцатеричный тип выражения. А если он имеет основание 64, то его сложность достаточно высока. Решением будет искаться как адаптивное управление по геометрической точности под названием ACG.

Остальные подобные равенства попадают в ту или иную группу. Их объединяет одинаковый способ решения, а именно возведение числа в степень основания для получения правильного результата.

Свойства

Они применяются при решении логарифмов и показательных уравнений. Причем верны они только в том случае, когда и основание, и аргумент равенства имеют положительный знак. Также есть небольшой нюанс: основание не может иметь степень 0 и 1.

1. Свойство 1. Loga (xy)=logaX+logaY. Расшифровка этой записи: логарифм произведения числа x и y равен сумме каждого из них или сумма логарифмов равна произведению их аргументов. В качестве примера приведем следующее выражение: log2 (16)=log2 (8)+log2 (2).
2. Свойство 2. Loga (x/y)=loga (x)-loga (y). В этом выражении логарифм от деления двух аргументов равен разности одного уравнения от другого. Пример: loga (5/3)=loga (5)-loga (3).
3. Свойства 3. loga (x^r)=r*loga (x). Показатель аргумента может быть вынесен за скобки.
4. Свойство 4. loga (1/x)=-loga (x). Поскольку (1/x)=x^-1, то можно вынести -1 за скобки по аналогии с предыдущим свойством.
5. Свойство 5. loga (a)=1. Если основание и аргумент равны между собой, то такой пример равняется 1, то есть число a в первой степени остается таким же. Сюда же можно отнести и такое свойство, согласно которому число в степени ноль равняется единице.
6. Свойство 6. (logb (x)/logb (a))=loga (x). Это особенное свойство, согласно которому уравнения с одинаковыми основаниями заменяются одним, где основание равняется аргументу делителя, аргумент такой же, как у делимого. То есть, аргумент нижнего логарифма идет вниз, а верхнего располагается наверху.

С помощью вышеописанных свойств можно решать равенства любой степени сложности. Они не очень сложные в применении, но их нужно уметь грамотно использовать и понимать, когда возможно использовать и что для этого следует сделать. Имеются и другие, особые свойства логарифмов, которые можно отыскать в специализированной математической литературе.

Логарифмы — интересный тип равенств. Несмотря на то, что поначалу все кажется сложным и не особенно понятным, при углубленном изучении они превращаются в довольно простые. Главное запомнить: внизу располагается основание, в которое возводится число для получения ответа. Также стоит хорошо изучить свойства логарифмов, потому что они значительно облегчают решение, особенно сложных примеров.

Видео

В этом видео рассматриваются свойства логарифмов.