Одна из дисциплин математики, называемая теорией вероятности, занимается изучением закономерностей, которые проявляются при наблюдении случайных процессов.
В настоящее время методы теории вероятности широко используются во всех отраслях статистики, во многих разделах теоретической и прикладной физики, в астрономии, в метеорологии, в целом ряде технических дисциплин, в теории стрельбы, во многих экономических дисциплинах.
Содержание:
Относительная частота и вероятность случайных событий
Пусть над появлением некоторого случайного процесса проводится серия испытаний, причем в результате каждого испытания исход U может либо осуществиться, либо не осуществиться. Пусть проведено n испытаний, в которых исход U осуществился m раз.
Относительной частотой (или вероятностью) случайного события (Р(U)) будем называть отношение числа появлений данного исхода (m) к общему количеству испытаний (n):
Р(U)=m/n
Эту математическую формулу называют классическим определением вероятности.
Относительная частота случайного исхода U всегда заключена на отрезке [0; 1]:
0 <= Р(U) <= 1
Решим следующую простейшую математическую задачу:
Задача 1. В колоде находится 36 карт четырех мастей. Наудачу выбирают одну карту. Чему равна вероятность того, что выбранная карта бубновой масти?
Общее число карт в колоде - 36, выбирают 1. Следовательно, общее число вероятных исходов n=36. Исход U состоит в том, что выбранная карта бубновой масти. Число карт с благоприятным исходом m=9. Тогда по полученной ранее формуле Р(U) = m/n = 9/36 = 0,25.
Объединение и совмещение событий
При решении математических задач на нахождении вероятности часто используются следующие операции:
- объединение событий;
- совмещение событий.
Два события U и V считаются несовместимыми, если осуществление при единичном испытании появление исхода U исключает возможность одновременного появления исхода V, и наоборот.
Объединение событий
Объединением событий U и V считают сложное событие, которое состоит в осуществлении либо исхода U, либо исхода V. Объединение событий U и V будем обозначать U+V.
Математическую формулу для нахождения вероятности объединения событий записываем таким образом:
Р (U+V) = Р (U) + Р (V)
Отыщем решение следующей задачи:
Задача 2. Бросается игральная кость. Найти относительную частоту что число появившихся очков кратно трем.
Возможные исходы: U - при бросании кости появилось 3 очка, V - при бросании кости появилось 6 очков. Р(U)=1/6, Р(V)=1/6. Отсюда находим Р(U+V)=1/6+1/6=1/3.
Совмещение событий
Совмещением событий U и V будем называть сложное событие, которое заключается в одновременном осуществлении при данном испытании обоих этих исходов. Совмещение событий U и V будем обозначать UV.
Математическую формулу для совмещения запишем так:
Р(UV) = Р(U) х Р(V)
Отыщем решение в следующем случае:
Задача 3. Какова относительная частота одновременного выпадения шестерок одновременно на двух игральных кубиках?
Возможные исходы: U - на одном кубике выпало 6. P(U)=1/6. V - на другом кубике тоже выпало 6. P(V)=1/6. Отсюда находим Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 1/6 х 1/6 = 1/36.
Последовательность действий при решении задач по теории вероятности
Способ решения данного типа задач схож со способами решения большинства задач математики.
- Сначала необходимо внимательно прочитать задачу для того, чтобы лучше понять процесс. Откуда какие карты извлекаются, какие кубики бросаются, какие шары из какого ящика вынимаются и т.п.
- Записать основной вопрос наподобие "Найти вероятность того, что ..." в виде события, относительную частоту которого требуется найти.
- Необходимо разобраться к какой схеме изучаемой дисциплины относится задача для того, чтобы правильно выбрать математические формулы. То есть необходимо понять, происходит одно испытание или несколько, являются ли эти испытания независимыми или нет, бросается один кубик или несколько и т.п.
- В выбранную математическую формулу подставляем исходные данные и получаем решение.
Найдем решение еще одного задания.
Задача 4. Монета бросается дважды. Найти относительную частоту того, что оба раза появится орел.
Относительная частота выпадения орла при одном бросании (первом или втором) P(U) = P(V) = 0,5. Выпадение орла при двух бросаниях происходит независимо друг от друга, поэтому имеет место совмещение двух исходов. По формуле для совмещения находим: Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 0,5 х 0,5 = 0,25.
Иногда для нахождения вероятности удобно пользоваться понятием противоположного события. Так, для исхода U - выпал орел, противоположным будет исход NOT(U) - выпала решка. При этом для противоположных событий выполняется равенство:
Р(U) + Р(NOT(U)) = 1.
Найдем решение следующей задачи:
Задача 5. Монета бросается 2 раза. Требуется найти вероятность того, что орел появится хотя бы один раз.
Здесь возможные исходы: U - орел появился хотя бы один раз и NOT(U) - орел не выпал ни разу. Задачу можно решить теми методами, которые были рассмотрены раньше, т.е. посчитать вероятность того, что выпадут два орла, или в первый раз появится орел, а во второй раз появится решка, или в первый раз появится решка, а во второй раз появится орел, и потом эти вероятности сложить.
Но можно воспользоваться другой математической формулой. Посчитаем вероятность исхода NOT(U)- два раза появится решка. Р(NOT(U)) = 0,5 х 0,5 = 0,25.
В итоге получили Р(U) = 1-Р(NOT(U)) = 1 - 0,25 = 0,75.
Видео
Из видео вы узнаете основные понятия теории вероятности
