Построить таблицу истинности следующих логических выражений

Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.

Для любого "алгебраического" действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения. Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.

Алгебраические преобразования логических выражений

Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина. Ложь обозначается нулём, а истина - единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.

Отрицание

Отрицание и инверсия - самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица "не." Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то "не А" - ложно. Например, утверждение "прямой угол - это угол, равный девяносто градусов" - истина. Тогда его отрицание "прямой угол не равен девяноста градусам" - ложь.

Таблица истинности для отрицания будет такова:

Конъюнкция

Конъюнкция аналогична умножению и соответствует союзу "и". Такое выражение будет верно, только если верны все утверждения, объединённые конъюнкцией. То есть, утверждение "А и Б" будет истинным, только если А - истина и Б - истина. Во всех остальных случаях выражение "А и Б" ложно. Например, высказывание "Земля круглая и плоская" будет ложно, так как первая часть истина, а вторая - ложь.

Таблица истинности конъюнкции

Дизъюнкция

Эта операция может быть обычной или строгой, их результаты будут различаться.

Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу "или". Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё - истина. Например, выражение "Земля круглая или стоит на трёх китах" будет истинным, так как первое утверждение - истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:

Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют "исключающим или". Эта операция может принимать вид грамматической конструкции "одно из двух: либо ..., либо ...". Здесь значение логического выражения будет ложным, если все утверждения, входящие в него, имеют одинаковую истинность. То есть, оба утверждения либо вместе истинны, либо вместе ложны.

Таблица значений исключающего или

Импликация и эквивалентность

Импликация представляет собой следствие и грамматически может быть выражена как "из А следует Б". Здесь утверждение А будет называться предпосылкой, а Б - следствием. Импликация может быть ложной, только в одном случае: если предпосылка истинна, а следствие ложно. То есть, ложь не может следовать из истины. Во всех остальных случаях импликация истинна. Варианты, когда оба утверждения имеют одинаковую истинность, вопросов не вызывают. Но почему верное следствие из неверной предпосылки — истина? Дело в том, что из ложной предпосылки может следовать что угодно. Это и отличает импликацию от эквивалентности.

В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А - "точка О - экстремум непрерывной функции", утверждение Б - "производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль". Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:

Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией. "А эквивалентно Б" означает, что "из А следует Б" и "из Б следует А" одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.

В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А - "Точка О является точкой экстремума непрерывной функции", утверждение Б - "В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак". Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: "производная в точке О обращается в ноль" и "производная в точке О меняет знак".

Прочие логические функции

Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:

• Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
• Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.

Построение таблиц истинности

Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:

1. Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
2. Определить логические преобразования.
3. Выявить порядок действий этих преобразований.
4. Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N - число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
5. Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
6. Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
7. Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая - единицами.
8. Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
9. Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
10. Потом последовательно заполняются результаты всех действий.

В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.

Отдельно следует сказать о порядке логических действий. Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:

1. выражения в скобках;
2. отрицание или инверсия;
3. конъюнкция;
4. строгая и обычная дизъюнкция;
5. импликация;
6. эквивалентность.

Примеры

Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:

• Штрих Шеффера.
• Стрелка Пирса.
• Определение эквивалентности.

Штрих Шеффера

Штрих Шеффера - это логическое выражение, которое можно записать в виде "не (А и Б)". Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:

Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения "не А или не Б". Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.

Стрелка Пирса

Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции "не (А или Б)", сравним её с конъюнкцией отрицаний "не А и не Б". Заполним две таблицы:

Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция - на конъюнкцию.

Определение эквивалентности

Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. "(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)".

Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:

В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.